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여기도 역시 Conditioning, 어떤 Event가 발생했을 때의 상황을 고려한 확률을 생각해볼 수 있다. 어떤 Event A가 발생한 조건에서 Continuous Random Variable $X$의 PDF는 다음을 만족한다. $$P(X\in B \vert A) = \displaystyle\int_B f_{X\vert A}(x)dx$$ 만약 $A$가 $P(X \in A) > 0$인 실수 집합이면, $$ f_{X\vert A}(x) = \begin{cases} \frac{f_X(x)}{P(X\in A)} &\text{if }x\in A \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases} $$ Conditional Expectation 이번에는 기대값이다. 위와 같은 조건에서 기대값은 아래와..

전공/확률과 통계 2020. 10. 25. 11:47

Normal Random Variable의 PDF 그래프는 고등학교 때 한번쯤 봤을 법한 정규분포곡선이다. $$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$$ $$E[X] = \mu$$ $$var(X) = \sigma ^2$$ $\mu, \sigma$는 각각 평균과 표준편차를 나타내는 기호이다. Properties Normal Random Variable은 여러가지 특성을 가지고 있다. 물론 이것들도 대부분 고등학교 때 본 기억이 있을 것이다. 하나씩 살펴보자 Property 1: Symmetry(대칭성) 확률 분포가 흔히 종모양 곡선을 그리며, 평균값을 기준으로 대칭을 이룬다. 예를 들어 $\mu = 1$인 Normal Random Var..

전공/확률과 통계 2020. 10. 25. 11:42

연속적인 값에 대해, 우리는 $P(X=x)$ 보다는 $P(X \le x)$에 더 관심을 가지고 있다. PDF를 적분하면 그 값을 구할 수 있지만 $f(x) = P(X \le x)$처럼 표현할 수 있는 함수가 있으면 더 편리할 것이다. 그런 함수가 Cumulative Distribution Function(CDF)이다. CDF는 연속적인 값 뿐만 아니라 이산적인 값에 대한 식도 포함하고 있다. $$ F_X(x) = P(X \le x) = \begin{cases} \displaystyle\sum_{k \le x} p_X(k)&\text{X: }discrete \\ \int^a_{-\infty}f_X(t) &\text{X: }continuous \end{cases} $$ CDF는 0부터 1까지 증가하는 형태의..

전공/확률과 통계 2020. 10. 25. 11:33

지금까지 우리는 이산적인 값에 대한 확률을 다루었다. 여기서는 연속적인 값에 대한 새로운 Random Variable과 Probability Density Function(PDF)를 소개하겠다. Continuous Random Variable은 연속적인 값을 다루기 위한 것이며 다음과 같은 특징이 있다. 무한한 범위에서 정의되어있다. 어떤 값 $X=x$에 대하여, $P(X=x) = 0$이다. 이 변수의 값이 될 수 있는 경우는 버스가 도착하는 시간, 무작위로 선택된 사람의 키 등이 있다. Probability Density Function(PDF) Continuous Random Variable은 항상 $P(X=x) = 0$이기 때문에 PMF를 만드는 것은 실질적인 의미가 없다. PMF 대신 우리는 연속..

전공/확률과 통계 2020. 10. 25. 11:28

Random Variable 간의 독립인 경우에 대해 다루며, 이 때 PMF, Expectation, Variance가 어떤 특성을 지니는지도 함께 살펴볼 것이다. Independence of Random Variables 두 랜덤 변수 $X,Y$가 독립이려면 PMF가 다음을 만족해야 한다. $$p_{X,Y}(x,y) = p_X(x)p_Y(y)\ for\ all\ x,y$$ 마치 $P(A\cap B) = P(A)P(B)$이면 두 Event가 독립인 것과 같은 이치이다. $X,Y$가 서로의 확률에 영향을 미치지 않기 때문에 ${X=x }$와 ${Y=y }$가 동시에 일어나는 경우의 확률은 각각의 확률을 곱한 것과 같다. Expectation of Independent Variables 기대값을 계산할 때 ..

전공/확률과 통계 2020. 10. 24. 23:48

이 부분의 내용은 Random Variable에 조건부 확률 개념을 더하는 것이라고 생각하면 된다. 그에 따른 PMF, Expectation의 변화를 알아보자. Conditioning on Random Variable on an Event 어떤 Event $A$가 발생했을 때, Random Variable $X$에 관한 PMF는 아래와 같다. $$p_{X\vert A}(x) = P(X=x \vert A) = \frac{P({X=x} \cap A)}{P(A)}$$ 사실 기존 조건부 확률과 크게 다를 것은 없다. 단지 Event를 표현하는 방식에 ${X=x}$가 추가되었을 뿐이다. Conditioning on Random Variable on Another 이번에는 Event $A$ 대신 다른 Random ..

전공/확률과 통계 2020. 10. 24. 23:39

Expectation, Mean, and Variance 여기서는 예전에 설명했던 Random Variable의 종류들에 대한 Expectation과 Variance가 어떻게 되는지만 간단하게 말해줄 것이다. 단, 증명은 단순히 전개하면 알 수 있으므로 생략한다. Expectations of Standard Random Variables Discrete Uniform on ${a, a + 1, \dots, b}$ $$E[X] = \frac{a+b}{2}$$ Bernoulli $$E[X] = (1-p)\cdot 0 + p\cdot 1 = p$$ Binomial $$E[X] = \sum^{n}_{k=0} k\cdot {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k} = np$$ Geometric $$E[..

전공/확률과 통계 2020. 10. 24. 23:23

Functions of Random Variables 여기서는 Random Variable이 값이 아닌 함수로 정의되는 경우에 대해 이야기한다. Random Variable $X$와 $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$인 함수 $f$가 있다고 하자. 그리고 새로운 Random Variable $Y$를 다음과 같이 정의할 수 있다. $$ Y = f(X) $$ 이런 $Y$의 PMF는 아래와 같다. $$P(Y=k) = P(f(X) = k) = \sum_{o\in \Omega\ such\ that\ f(X(o))=k}P(o)$$ 풀어서 설명하면 $Y=k$의 확률은 $f(X)=k$가 되게하는 outcome $o$들의 확률을 더한 것이다. Expectation, Mean, and ..

전공/확률과 통계 2020. 10. 24. 22:59