[확률과 통계] 3.4 Conditioning on Event

여기도 역시 Conditioning, 어떤 Event가 발생했을 때의 상황을 고려한 확률을 생각해볼 수 있다. 어떤 Event A가 발생한 조건에서 Continuous Random Variable $X$의 PDF는 다음을 만족한다.

$$P(X\in B|A)={\displaystyle {\int }_B{f}_{X|A}(x)dx}$$

만약 $A$가 $P(X \in A) > 0$인 실수 집합이면,

$$f_{X|A}(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{f_X(x)}{P(X\in A)}& \text{if }x\in A\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

Conditional Expectation

이번에는 기대값이다. 위와 같은 조건에서 기대값은 아래와 같이 정의된다.

$$E[X|A]={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x{f}_{X|A}(x)dx}$$

2.6장에서 다룬 "Conditional Expectation"의 내용들이 여기서도 유효하다. 따라서 아래 식도 성립한다.

$$E[g(X)|A]={\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}g(x)f_{X|A}(x)dx}$$

Version of Total Probability Theorem

$A_1, \cdots, A_n$이 서로 disjoint하고 각각의 $i$에 대해 $P(A_i) > 0$이면서 Sample Space의 Partition이라고 하자. 그러면 아래 식이 성립한다.

$$f_X(x)={\displaystyle \sum _{i=1}^{n}P(A_i)f_{X|A_i}(x)}$$

이 식은 Total Probability Theorem을 이용해 $P(X\le x)$를 구하는 식을 변형하여 증명할 수 있다.