[확률과 통계] 3.2 Cumulative Distribution Functions

연속적인 값에 대해, 우리는 $P(X=x)$ 보다는 $P(X \le x)$에 더 관심을 가지고 있다. PDF를 적분하면 그 값을 구할 수 있지만 $f(x) = P(X \le x)$처럼 표현할 수 있는 함수가 있으면 더 편리할 것이다. 그런 함수가 Cumulative Distribution Function(CDF)이다. CDF는 연속적인 값 뿐만 아니라 이산적인 값에 대한 식도 포함하고 있다.

$$ F_X(x) = P(X \le x) = \begin{cases} \displaystyle\sum_{k \le x} p_X(k)&\text{X: }discrete \\ \int^a_{-\infty}f_X(t) &\text{X: }continuous \end{cases} $$

CDF는 0부터 1까지 증가하는 형태의 그래프로 표현된다. 랜덤 변수가 이산적인 값일 때는 계단형 그래프가 나올 것이고, 연속적일 때는 서서히 증가할 것이다.

Properties of the CDFs

이제 CDF의 특성을 소개할 건데, Random Variable 종류에 따라 나누어 설명하겠다.

Discrete RV: Properties of the CDFs

• CDF의 형태
  $$ F_X(k) = \displaystyle \sum^{k}_{i=-\infty} P(X = k) $$
• CDF로부터 PMF를 구하는 법
  $$ P(X=k) = F_{X}(k) - F_{X}(k-1) $$

Continuous RV: Properties of the CDFs

• CDF의 형태
  $$ F_X(x) = \displaystyle \int^{x}_{-\infty} f_X(y)dy $$
• CDF로부터 PDF를 구하는 법: CDF를 미분
  $$ f_X(x) = \frac{dF_X(x)}{dx} $$