[확률과 통계] 3.3 Normal Random Variables

Normal Random Variable의 PDF 그래프는 고등학교 때 한번쯤 봤을 법한 정규분포곡선이다.

$$f_X(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-(x-\mu)^2/2\sigma^2}$$
$$E[X] = \mu$$
$$var(X) = \sigma ^2$$

$\mu, \sigma$는 각각 평균과 표준편차를 나타내는 기호이다.

Properties

Normal Random Variable은 여러가지 특성을 가지고 있다. 물론 이것들도 대부분 고등학교 때 본 기억이 있을 것이다. 하나씩 살펴보자

Property 1: Symmetry(대칭성)

확률 분포가 흔히 종모양 곡선을 그리며, 평균값을 기준으로 대칭을 이룬다. 예를 들어 $\mu = 1$인 Normal Random Variable이 있다고 하자. 이런 경우에는 1을 기준으로 확률 분포가 대칭이므로 $P(x < 0) = P(x > 2)$이다. 뿐만 아니라 $P(x \lt \mu) = P(x \gt \mu) = 0.5$라는 사실도 대칭성에 의해 알 수 있다.

Property 2: Normality is Preserved by Linear Transformations

$X$가 Normal Random Variable일때 $Y = aX + b$인 Random Variable $Y$도 여전히 Normal이고 $X$의 평균과 분산이 각각 $\mu, \sigma^2$라 할 때 $Y$의 평균과 분산은 각각 아래와 같다.

$$E[Y] = a\mu + b$$
$$var(Y) = a^2\sigma^2$$

Property 3: Standard Normal Random Variable

Standard Normal Random Variable이란 $\mu = 0, \sigma^2 = 1$인 Normal Random Variable인데, 고등학교 때의 표준정규분포에 해당한다고 생각하면 된다.

Standardization

일반적인 Normal Random Variable $X$를 Standard인 Random Variable $Y$로 만드려면 아래와 같이 표준화(Standardization)할 수 있다.

$$ Y = \frac{X - \mu}{\sigma} $$

CDF of Standard Normal Random Variable

Standard Normal Random Variable의 PDF는 아래와 같다. ($\mu = 0, \sigma^2 = 1$)

$$f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}$$

이를 바탕으로 CDF를 만들면 아래와 같다. 이 함수는 $\Phi$으로 표기한다.

$$\Phi(y) = P(Y \le y) = P(Y \lt y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{y}_{-\infty}e^{-t^2/2}dt$$

$\Phi$는 우리가 계산하지는 않고 Standard Normal Table을 보며 $\Phi(y)$의 값을 찾아서 사용하면 된다.