[확률과 통계] 3.4 Conditioning on Event

여기도 역시 Conditioning, 어떤 Event가 발생했을 때의 상황을 고려한 확률을 생각해볼 수 있다. 어떤 Event A가 발생한 조건에서 Continuous Random Variable $X$의 PDF는 다음을 만족한다.

$$P(X\in B \vert A) = \displaystyle\int_B f_{X\vert A}(x)dx$$

만약 $A$가 $P(X \in A) > 0$인 실수 집합이면,

$$ f_{X\vert A}(x) = \begin{cases} \frac{f_X(x)}{P(X\in A)} &\text{if }x\in A \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases} $$

Conditional Expectation

이번에는 기대값이다. 위와 같은 조건에서 기대값은 아래와 같이 정의된다.

$$E[X\vert A] = \displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}xf_{X\vert A}(x)dx$$

2.6장에서 다룬 "Conditional Expectation"의 내용들이 여기서도 유효하다. 따라서 아래 식도 성립한다.

$$E[g(X)\vert A] = \displaystyle \int^{\infty}_{-\infty}g(x)f_{X\vert A}(x)dx$$

Version of Total Probability Theorem

$A_1, \cdots, A_n$이 서로 disjoint하고 각각의 $i$에 대해 $P(A_i) > 0$이면서 Sample Space의 Partition이라고 하자. 그러면 아래 식이 성립한다.

$$ f_X(x) = \displaystyle \sum^n_{i=1} P(A_i)f_{X\vert A_i}(x) $$

이 식은 Total Probability Theorem을 이용해 $P(X\le x)$를 구하는 식을 변형하여 증명할 수 있다.