[확률과 통계] 1.1 Sets

Sets

Sets and Elements

정의

• 집합(Set)은 어떠한 대상(Object)들의 모임이다
• 집합에 속하는 대상 : 원소(Element)

Example

• \(S_{1} = \{apple, orange, kiwi\}\)
  • 집합 S는 apple, orange, kiwi 세 요소를 가지고 있다
• 주사위를 한 번 던졌을 때 가능한 결과 집합
  • \(S_{2} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
• 동전을 토스했을 때 가능한 결과 집합
  • \(S_{3} = \{앞면, 뒷면\} = \{H(Head), T(Tail)\}\)

Size of the set

정의

• \( \left\lvert S \right\rvert \) : 집합 S의 크기(요소의 개수)

Example

• \( \left\lvert S_{2} \right\rvert = 6 \)
• \( \left\lvert S_{3} \right\rvert = 2 \)
• \( S_{4} = \) The set of all cards from a deck
  • \( \left\lvert S_{4} \right\rvert = 52 \)(조커 제외)
  • \( \left\lvert S_{4} \right\rvert = 54 \)(조커 포함)

Set Membership

정의

• \( x\in{S} \) : x는 집합 S의 요소이다.
• \( x\notin{S} \) : x는 집합 S의 요소가 아니다.

Example

• \( apple\in{S_{1}} \)
• \( strawberry\notin{S_{1}} \)

Equality of Sets

정의

• \( S = T \) : 집합 S와 T가 같다.
• S의 모든 요소가 T의 멤버이고, T의 모든 요소가 S의 멤버이면 두 집합은 같다. (같은 요소 구성을 가짐)
  • 그렇지 않으면 \( S\neq{T} \)

Example

• \( \{apple, orange, kiwi\} = \{kiwi, orange, apple\} \)
• \( \{apple, orange, kiwi\}\neq{\{kiwi, orange, strawberry\}} \)

Subsets

정의

• \( T\subseteq{S} \) : T는 S의 부분집합이다.
  • T의 모든 요소가 S에도 들어있다.
• \( {}, \emptyset \) : Empty set(공집합)

Example

• \( \{apple, orange\}\subseteq{\{kiwi, orange, apple\}} \)
• \( \{apple, orange, strawberry\}\nsubseteq{\{kiwi, orange, apple\}} \)
• \( \{\}\subseteq{\{kiwi, orange, apple\}} \)

Creating Subsets By Filtering

• 참, 거짓을 반환하는 논리식 \( F(x) \)를 이용해 집합을 표현

Exapmle

• \(S = \{kiwi, orange, apple\}\)
  • \(\{x \vert x\in{S}\ and\ x\ is\ green\} = \{kiwi, apple\}\)
• \(S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
  • \(\{x \vert x\in{S}\ and\ x\ is\ even\} = \{2, 4, 6\} \)

Universal Set(Ω)

정의

• 주어진 상황에서 가능한 모든 대상들의 집합

Example

• Coin Flip : \( \{앞면, 뒷면\} \)
• Dice Roll : \( \{1,2,3,4,5,6\} \)

The Power Set

정의

• \( 2^{S} \) : S의 모든 부분집합들의 집합

Example

• \( S = \{apple, kiwi, strawberry\} \)
• $2^{S} = \{\{\}, \{apple\}, \{kiwi\}, \{strawberry\},\allowbreak \{apple, kiwi\}, \{apple, strawberry\}, \\ \{kiwi, strawberry\}, \{apple, kiwi, strawberry\}\} $

Set Complement

정의

• $ S^{c} = \{x \vert x\in{Ω}\ and\ x\notin{S}\} $

Example

• $ Ω = \{apple, orange, kiwi, strawberry, banana\} $
  • $ S = \{apple, orange, kiwi\} $
  • $ S^{c} = \{strawberry, banana\} $

Set Union

정의

• $ S\cup{T} = \{x \vert x\in{S}\ or\ x\in{T}\} $
• $ S = \{apple, orange\} $ and $ T = \{orange, kiwi\} $
  • $ S\cap{T} = \{orange\} $

Disjoint Sets

정의

• $ S_{1}, \cdots, S_{N} $에 대하여 각각의 서로 다른 두 집합의 교집합이 공집합일 정유, $ S_{1}, \cdots, S_{N} $은 mutually disjoint하다.
• mutually disjoint : 주어진 집합들의 원소가 서로 겹치지 않음

Example

• $ S_{1} = \{apple, orange\}, S_{2} = \{kiwi, strawberry\}, S_{3} = \{banana\} $
  • $ S_{1}\cap{S_{2}} = \{\},\ S_{1}\cap{S_{3}} = \{\},\ S_{2}\cap{S_{3}} = \{\} $
  • $ S_{1},\ S_{2},\ S_{3} $

Partitions

정의

• $ S_{1}, \cdots, S_{N} $이 mutually disjoint하고 $ S_{1} \cup \cdots \cup S_{N} = S $이면 $ S_{1}, \cdots, S_{N} $은 집합 S의 partition이다.
• Partitions : 어떤 집합 S의 서로 겹치지 않으면서 합집합이 S가 되는 부분집합들

Example

• $ S = \{apple, orange, kiwi, strawberry, banana\} $
  • $ S_{1} = \{strawberry, apple\}, S_{2} = \{banana, kiwi\}, S_{3} = \{orange\} $
  • => $ S_{1} \cap S_{2} = \{\}, S_{1} \cap S_{3} = \{\}, S_{2} \cap S_{3} = \{\} $
  • => $ S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3} = S $
  • => $ S_{1}, S_{2}, S_{3} $는 S의 Partition

Venn Diagram

• 집합 연산을 벤 다이어그램으로 쉽게 나타낼 수 있다.

Example

Algebra of Sets

• 교집합, 합집합 연산은 교환, 결합, 분배 법칙이 모두 성립한다.