[확률과 통계] 1.1 Sets

Sets

Sets and Elements

정의

• 집합(Set)은 어떠한 대상(Object)들의 모임이다
• 집합에 속하는 대상 : 원소(Element)

Example

• $S_1=\{apple,orange,kiwi\}$
  • 집합 S는 apple, orange, kiwi 세 요소를 가지고 있다
• 주사위를 한 번 던졌을 때 가능한 결과 집합
  • $S_2=\{1,2,3,4,5,6\}$
• 동전을 토스했을 때 가능한 결과 집합
  • $S_3=\{앞면,뒷면\}=\{H(Head),T(Tail)\}$

Size of the set

정의

• $\left|S\right|$ : 집합 S의 크기(요소의 개수)

Example

• $\left|S_2\right|=6$
• $\left|S_3\right|=2$
• $S_4=$ The set of all cards from a deck
  • $\left|S_4\right|=52$(조커 제외)
  • $\left|S_4\right|=54$(조커 포함)

Set Membership

정의

• $x\in S$ : x는 집합 S의 요소이다.
• $x\notin S$ : x는 집합 S의 요소가 아니다.

Example

• $apple\in S_1$
• $strawberry\notin S_1$

Equality of Sets

정의

• $S=T$ : 집합 S와 T가 같다.
• S의 모든 요소가 T의 멤버이고, T의 모든 요소가 S의 멤버이면 두 집합은 같다. (같은 요소 구성을 가짐)
  • 그렇지 않으면 $S\ne T$

Example

• $\{apple,orange,kiwi\}=\{kiwi,orange,apple\}$
• $\{apple,orange,kiwi\}\ne \{kiwi,orange,strawberry\}$

Subsets

정의

• $T\subseteq S$ : T는 S의 부분집합이다.
  • T의 모든 요소가 S에도 들어있다.
• $,\mathrm{\varnothing }$ : Empty set(공집합)

Example

• $\{apple,orange\}\subseteq \{kiwi,orange,apple\}$
• $\{apple,orange,strawberry\}⊈\{kiwi,orange,apple\}$
• $\{\}\subseteq \{kiwi,orange,apple\}$

Creating Subsets By Filtering

• 참, 거짓을 반환하는 논리식 $F(x)$를 이용해 집합을 표현

Exapmle

• $S=\{kiwi,orange,apple\}$
  • $\{x|x\in Sandxisgreen\}=\{kiwi,apple\}$
• $S=\{1,2,3,4,5,6\}$
  • $\{x|x\in Sandxiseven\}=\{2,4,6\}$

Universal Set(Ω)

정의

• 주어진 상황에서 가능한 모든 대상들의 집합

Example

• Coin Flip : $\{앞면,뒷면\}$
• Dice Roll : $\{1,2,3,4,5,6\}$

The Power Set

정의

• $2^S$ : S의 모든 부분집합들의 집합

Example

• $S=\{apple,kiwi,strawberry\}$
• $2^{S} = \{\{\}, \{apple\}, \{kiwi\}, \{strawberry\},\allowbreak \{apple, kiwi\}, \{apple, strawberry\}, \ \{kiwi, strawberry\}, \{apple, kiwi, strawberry\}\} $

Set Complement

정의

• $ S^{c} = \{x \vert x\in{Ω}\ and\ x\notin{S}\} $

Example

• $ Ω = \{apple, orange, kiwi, strawberry, banana\} $
  • $ S = \{apple, orange, kiwi\} $
  • $ S^{c} = \{strawberry, banana\} $

Set Union

정의

• $ S\cup{T} = \{x \vert x\in{S}\ or\ x\in{T}\} $
• $ S = \{apple, orange\} $ and $ T = \{orange, kiwi\} $
  • $ S\cap{T} = \{orange\} $

Disjoint Sets

정의

• $ S_{1}, \cdots, S_{N} $에 대하여 각각의 서로 다른 두 집합의 교집합이 공집합일 정유, $ S_{1}, \cdots, S_{N} $은 mutually disjoint하다.
• mutually disjoint : 주어진 집합들의 원소가 서로 겹치지 않음

Example

• $ S_{1} = \{apple, orange\}, S_{2} = \{kiwi, strawberry\}, S_{3} = \{banana\} $
  • $ S_{1}\cap{S_{2}} = \{\},\ S_{1}\cap{S_{3}} = \{\},\ S_{2}\cap{S_{3}} = \{\} $
  • $ S_{1},\ S_{2},\ S_{3} $

Partitions

정의

• $ S_{1}, \cdots, S_{N} $이 mutually disjoint하고 $ S_{1} \cup \cdots \cup S_{N} = S $이면 $ S_{1}, \cdots, S_{N} $은 집합 S의 partition이다.
• Partitions : 어떤 집합 S의 서로 겹치지 않으면서 합집합이 S가 되는 부분집합들

Example

• $ S = \{apple, orange, kiwi, strawberry, banana\} $
  • $ S_{1} = \{strawberry, apple\}, S_{2} = \{banana, kiwi\}, S_{3} = \{orange\} $
  • => $ S_{1} \cap S_{2} = \{\}, S_{1} \cap S_{3} = \{\}, S_{2} \cap S_{3} = \{\} $
  • => $ S_{1} \cup S_{2} \cup S_{3} = S $
  • => $ S_{1}, S_{2}, S_{3} $는 S의 Partition

Venn Diagram

• 집합 연산을 벤 다이어그램으로 쉽게 나타낼 수 있다.

Example

Algebra of Sets

• 교집합, 합집합 연산은 교환, 결합, 분배 법칙이 모두 성립한다.