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[확률과 통계] 1.4 Total Probability Theorem and Bayes' Rule

전공/확률과 통계

by blacksmith16 2020. 10. 24. 18:43

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Total Probability Theorem

$A_{1}, \cdots, A_{n}$이 Ω의 partition이면 Event B에 대해 다음 식이 성립한다.

$P(B) = P(B\vert{A_{1}})P(A_{1}) + \cdots + P(B\vert{A_{n}})P(A_{n}) = \displaystyle \sum^{n}_{i=1}P(B\vert{A_{i}})P(A_{i})$

 

  이 식은 $P(A\cap{B}) = P(B\vert{A})P(A)$를 이용한 것이다. 어떤 사건 B의 확률을 구하기 위해서 Ω의 Partition들과 B의 교집합의 확률을 전부 더했는데, 마치 조각난 B를 모아 합치는 느낌이라 보면 된다.

 

Bayes Theorem

$A_{1}, \cdots, A_{n}$이 Ω의 partition이면 Event B에 대해 다음 식이 성립한다.

$P(A_{i}\vert{B}) = \frac{P(A_{i}\cap{B})}{P(B)} = \frac{P(B\vert{A_i})P(A_{i})}{\sum^{n}_{j=1}P(B\vert{A_j})P(A_j)}$

 

  Bayes Theorem은 언뜻 보면 복잡해보이지만 마지막 식의 분모는 Total Probability Theorem을 사용하여 표현한 $P(B)$일 뿐이므로 어려운 식은 아니다. 이 식은 $P(A_i\vert{B})$로부터 $P(B\vert{A_i})$를 구할 수 있다는 것이 중요하다. 조건부 확률의 좌우 Event를 바꾸고 싶을 때 Bayes Theorem을 써보도록 하자.

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