[확률과 통계] 1.3 Conditional Probability

Conditional Probability

Discrete Uniform Probability Law

Ω가 유한하고 모든 outcome이 동일한 확률로 나온다면,

• $P(A) = \frac{\left\vert A \right\vert}{\left\vert Ω \right\vert}$ (A의 요소 수 / 전체 outcome의 수)
  => 모든 요소의 확률이 $\frac{1}{\left\vert Ω \right\vert}$로 동일하기 때문

Conditional Probability(조건부 확률)

어떤 outcome이 발생했는지 알고 있을 때, 다른 outcome이 발생할 확률

Conditional Probability Laws

$P(A\vert B)$ : Event B가 일어날 때, Event A도 같이 일어날 확률

• $P(A\vert B) = \frac{P(A\cap{B})}{P(B)}$ (단, $P(B) > 0$)
• 모든 outcome이 같은 확률로 나타난다면(discrete uniform,
  $P(A\vert B) = \frac{\left\vert A\cap{B} \right\vert}{\left\vert B\right\vert}$

Conditional Probability Laws and Probability Axioms

사실상 앞 포스팅에서 나온 Probability Axioms에서 각 확률에 "$\vert{B}$"만 추가된 것과 같다.

• Nonnegativity : $P(A\vert{B}) \ge 0$
• Normalization : $P(Ω\vert B) = 1$
• Additivity : $A_{1}, A_{2}$가 disjoint하면,
  $P(A_{1}\cup{A_{2}}\vert B) = P(A_{1}\vert{B}) + P(A_{2}\vert{B})$

Rules with Conditional Probability

여기도 앞 포스팅의 Useful Probability Rules에서 각 확률에 "$\vert{B}$"만 추가된 것과 거의 같다고 보면 된다.

Multiplication Rule

Multiplication Rule은 조건부 확률의 정의인 $P(A\vert B) = \frac{P(A\cap{B})}{P(B)}$(단, $P(B) > 0$)를 약간 변형한 것이다.

• $P(B) > 0$이면, $P(A\cap{B}) = P(A)P(B\vert A)$

N-step Multiplication Rule

Multiplication Rule을 N개의 Event의 교집합을 구하는 것으로 확장한 식이다.

$$ P(\cap^{N}_{n}{A_{n}}) = \prod^{N}_{n=1} {P(A_{n}\vert{\cap^{n-1}_{i=1} A_{i}})} \\ = P(A_{1})P(A_{2}\vert{A_{1}})P(A_{3}\vert A_{1}\cap{A_{2}}) \cdots P(A_{N}\vert A_{1}\cap{\cdots}\cap{A_{N-1}}) $$